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内容提要：从经济史的角度重新解读《杨辉算法》，我们会发现南宋在许多经济领域都用到了计量数学，像各种形状的山田丈量方法、日常商业活动中的秤衡与斤两制度等。由于南宋地方政府与民间在较长时期内始终没有形成统一的秤衡与斤两制度，因而给南宋商业经济的发展造成了一定负面影响，而杨辉通过算题这种特殊媒介，以灵活多样的方式讨论了正斛法和零两求分定数等问题，从而对南宋计量数学的发展产生了积极影响。作为计量数学发展演变的重要阶段，南宋正好处于由筹算向珠算转变的历史时期，杨辉不遗余力地推广乘除捷法，以不断适应计量数学发展的客观需要。《杨辉算法》中的捷法运算对于现代基础数学与实用数学的发展仍具有一定参考价值。 关 键 词：杨辉算法/经济/南宋/计量数学 作者简介：吕变庭，河北大学宋史研究中心教授。 《杨辉算法》包括《乘除通变本末》《田亩比类乘除捷法》和《续古摘奇算法》3部书，此外还有《日用算法》残卷，它们是南宋实用算书的代表作。以往史学界对书中所蕴含的数学思想及其成就，经多方面的探讨，已取得了丰硕成果。与之相较，对于《杨辉算法》中的经济史价值，学界仍重视不够。故此，笔者曾撰有《杨辉算书与南宋社会经济诸关系初探》一文，①主要围绕山间坡地与田亩计量、土地买卖与田亩比类算题、从头子钱和不系省钱看南宋的杂税、南宋的稻谷产量与稻谷出米率、月息与南宋江浙地区的借贷关系、物价与南宋经济的发展等问题，初步揭示了杨辉算书与南宋诸多经济现象之间的密切关系。然而，随着进一步考索，我们发现《杨辉算法》中还有许多反映南宋经济领域现实状况的史料尚待继续深入研究，例如《杨辉算法》中的计量数学与经济史之间的关系问题，学界虽有关注，②但迄今未见系统研究，故本文仅就这个问题，拟在前人研究成果的基础上，尝试做进一步探索，不足之处请方家斧正。 一、《田亩比类乘除捷法》与南宋的山田丈量 南宋人地矛盾主要有两种表现形式：人多地少与人稀地广。前者主要分布在江浙、福建、四川平原等人口密度较高的少数经济发达区域，如婺州“浦江居山僻间，地狭人众，一寸之土垦辟无遗”；③福建南平“四望无平地，山田级级高”。④后者则主要分布在湖北、广南东西两路等地，如南宋时“湖北地广人稀，耕种灭裂，种而不莳”；⑤又“广南两路，自潮州而南，居民鲜少，山荒甚多”，⑥等等。 因杨辉系钱塘(今浙江杭州)人，长期生活在台州(今浙江临海)、苏州、钱塘等地，对这一带地区的人地矛盾深有感触。由于耕地与赋税关系密切，且是宋代最敏感和最复杂的民生问题之一，故各层士人关注颇多。我们知道，丈量田亩是政府征收赋税的基础。从这个角度看，杨辉著《田亩比类乘除捷法》关乎国计民生，意义非同寻常。为了方便丈量，宋代的田亩以“直田”为常态，至于“直田”的形状，近似“井田”。如图1所示。  图1 敦煌莫高窟61窟宋代壁画中的“耕作图” 这是一幅反映宋代耕地、收割和打场景象的“耕作图”，见于敦煌莫高窟61窟宋代壁画中，图中所示农田形状即“直田”。然而，南宋田亩的情形相当复杂，如宣和元年(1119)，北宋统治者有“浙西逃田、天荒、草田、葑茭荡、湖泺、退滩等地，皆计籍召佃立租，以供应奉”之令。⑦至于这些田亩的形状是个什么样子，史载不详，故无法确知。 宋代山区的农业开发应是当时最活跃的经济领域，也是缓解人口压力的重要出路之一。大量人口向山区转移，必然会出现“深山穷谷，人迹所不到，往往有民居”的情况。⑧由于山区自然地理的限制，人们开荒只能因山而宜，于是梯田这种新的田亩形式应运而生。漆侠《宋代经济史》及韩茂莉《宋代农业地理》特别讲到福建之外的东南丘陵山地，如徽州、台州、严州及明州等地，梯田已经非常普遍了。据陈耆卿统计，台州田亩有田(指水田)、地和山三种类型，其中田有2628283亩，地有948222亩，山有1753538亩，山与地的和比田多。⑨明州山区居民“从山巅直到水湄，‘累石堑土’，将所有坡地都建为梯田”，⑩反映了梯田使东南丘陵山地生态环境的变化十分显著。在这里，我们不拟讨论梯田对东南丘陵山地生态环境所造成的严重后果，因为在当时特定历史条件下，对于广大山居民众来说，如何生存和繁衍才是头等重要的事情。当然，通过“累石堑土”开出来的山田，田面大小不一，且形状亦各不相同，有些小的山田甚至“指十数级不能为一亩”，(11)然其耕种的劳动强度却很大，如皖南山区有“凿山而田，高耕入云者，十半其力”之说。(12)可惜，载有福建、浙江等山田面积与形状的宋代《鱼鳞图册》实物，今已不存。不过，由明代传世的《鱼鳞图册》知，徽州梯田“层累而上”，山田单位面积小，土地清丈不易。故此，程大位在《算法统宗》卷3中绘制有“新制丈量步车图”，(13)以解决各种几何田亩的清丈问题。经过汇总，程大位共给出了22种几何田亩的计算问题，即方田、直田、圆田、覆月田、弧矢田、圭形田、三角田、梭形田、斜圭田、梯形田、斜形田、眉形田、牛角田、榄形田、三广田、勾股田、四不等形田、五不等田、倒顺二圭田、三圭形田、六角形图田和八角形图田等。有学者认为，上述几何田亩的算法，是程大位“总结了徽州土地丈量的经验”。(14)例如，《鱼鳞图册》所载徽州梯田之1号田亩仅有5分5厘多，却被分割为12级地块，而另1号田亩仅仅才2分2厘，则被分割为15级地块。(15)恰如漆侠所言，这是“在山石的罅隙中耕锄”。(16)既然如此，那么我们就可以说，杨辉《田亩比类乘除捷法》同样是总结了台州、明州等地土地丈量的实际经验。其讲的虽是数学问题，但折射出来的却是南宋最为迫切的民生问题，即如何解决山地居民的生计问题。在这个历史过程中，自然界不得不为之付出巨大的代价。 诚如宋人所言，山地田亩的产量一般都不高，严州山地田亩“苗稼疏薄”，所收常“不足食”。(17)然而，对于宋代山地的粮食产量，我们应以历史和辩证的眼光来看待。韩茂莉指出，东南丘陵山区的开发有两点值得注意：第一，“在山区的农业开发过程中，人们首先利用的土地一般是自然条件最好的山间盆地，然后逐渐向山麓地带推进，最后延伸到条件较差的坡地”。(18)吕祖谦曾针对严州的山田与水田的分布状况，作出“山居其八，田居其二”的估算，(19)也就是说，水田与山地(指旱地)的比例为2∶8。当然，在这“居八”的份额里，山间盆地和山麓硗确之地的产量是有高低差异的。第二，从“烧畲”到“细种”，耕作技术发生了变化。考察宋代明州、严州、处州、温州和歙州等人口增长率，其中人口增长率超过100％的州有80％以上处于丘陵山区，所以“相对平原地区，丘陵山区呈现出人口高值增长的趋势”。(20)可是，在“一寸之土，垦辟无遗”的特定背景下，(21)想要山地养活更多的居民，惟有改进耕作技术一途。因此，陈著在《嵊县劝农文》中鼓励人们“细种为生”，(22)变粗放为细作。此时，如何对丘陵山地田亩的产量进行科学评估，就显得愈来愈重要了。杨辉根据东南丘陵山地的不同形状，一共抽象和提炼出24种几何田亩(即田亩模型)，成为田主赋税的基本量纲。具体内容见表1。   上述东南丘陵山地田亩的几何模型，由于是来自实际的丈量经验，如“台州量田图”中有曲尺田、箭筈田和箭翎田等，(23)又台州黄岩县围量田图有梭田棣，及台州量田图有牛角田等，(24)可以说基本上囊括了南宋“经界”过程中所遇到的各种形状的田亩。一旦这些实际问题被模型化之后，人们就又针对性地建立起一套符合简捷原则的解题方法。从《九章算术》到《田亩比类乘除捷法》，一以贯之，中国算学家形成了具有中国特色的数学逻辑体系，即先“从实际生活中分析出数量关系，建立数学模型”，然后再“从研究具体的数学问题入手，通过抽象与归纳而得到解决问题的数学方法”。(25)当然，在杨辉看来，“解决问题的数学方法”不能复杂，也不能不易学习和掌握。所以，鉴于几何田亩与田亩产量的科学评估之密切关联，杨辉除了重点凸显《田亩比类乘除捷法》的实用价值外，更加追求算法的简捷与精确。例如，杨辉把属于“田亩”的概念直接用于带从开抽象的方、益积开方、减从开方和益隅开方等一般算法之中，从而使那些具体概念演变为一套以“机械化”为特色的求解代数方程的方法，不仅易于操作，而且更易于推广。(26)这样，《田亩比类乘除捷法》就成为中国古代实用数学的一部典型著作，它对于元明清乃至我国现代数学的发展都具有重要的典范意义。华罗庚在谈到“优选”思想的精髓时说：“在具有各种互相制约、互相影响的因素的统一体中，寻求一个最合理(依某一目的，如最经济，最省人力)的解答便是一个数学问题，这就是‘多、快、好、省’的具体体现。”(27)尽管华罗庚与杨辉生活在不同的历史空间，但是他们的数学思想却是一致的和可通约的。 (责任编辑：admin) |