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二、《续古摘奇算法》中的正斛法及其捷法运算 “斛”是我国古代容量单位，它的变动关乎民生大计，故杨辉在《续古摘奇算法》中用专篇来讨论“正斛法”，足见其对这个问题的重视程度。杨辉对“斛”制变革的历史做了这样的描述： 《夏侯阳》仓曹云：古者凿池，方一尺，深一尺六寸二分，受粟一斛。至汉王莽改铸铜斛，用深一尺九寸二分。至宋元嘉二年，徐受重铸，用二尺三寸九分。至梁大同元年，甄鸾校之，用二尺九寸二分。然异时事变，斗尺(斛)不同，以古就今，临时较定，始可行用。若欲审之，以掘地作穴，方广三尺已下。以今时斗，量米一斛，置诸穴中，概令平满，如有少剩，临时增减，取米适平，然后出之，径量以知深浅，乃可为斛法定数。辉伏睹京城见用官斗号杭州百合，浙郡一体行用。未较积尺积寸者，盖斗势上阔下狭，维板凸突，又有提梁，难于取用。况栲栳藤斗，循习为之。今将官升与市尺较订，少补日用之万一。每立方三寸，谓四维各三寸，高三寸，积二十七寸。受粟一升；每方五寸，深五寸四分，积一百三十五寸。受粟五升；每方一尺，深二寸七分，积二百七十寸。受粟一斗；每方一尺，深一尺三寸五分，受粟五斗。(28) 关于此段量制史料，吴文俊主编《中国数学史大系》第5卷及郭正忠《三至十四世纪中国的权衡度量》等都有较细致的阐释。其中尤为值得注意的现象是宋代的斛制非常混乱，既有中央朝廷之量、各种地方官量、专用官量以及军量和学量等，同时又有乡村居民以及城镇工商业自制和使用的民间量器，加上因“栲栳藤”本身的原因，制作很不规则，“既有按法量或官量规格复制的合法量器，也有违反规格私造而应予取缔的非法量器，还有本属非法而又为官府所默许、认可的量器”等。(29)为了增收多取，官府往往加大量器来收取，是谓“加耗”，名色至多。此外，尚有20多种加斛与加斗，从而使民众的税负更加沉重。所以，宋代斛制的变化反映了统治阶级残酷剥削的一面，而从数学史的角度，我们通过对量斛的容积换算，无疑能够加深对其剥削性质的认识。宋代浙尺有3种形制：27.4厘米、28.3厘米及31厘米。依此计算，则宋代的“杭州百合”官斗分别为：  宋代以前，以十斗为一斛，而北宋末南宋初则改五斗为一升。(30)斛型无定制：“既有圆体五斗斛，又有方体五斗斛；既有敞口斛，又有狭口斛。”(31)正是在这样的历史背景下，杨辉才提出了“正斛法”的主张，即提出订正容量单位的标准。 在“正斛法”下，有“求圆斛术”，主要讲述立方体量器与圆柱体量器等容积的换算方法。然而，杨辉给出的却是其“方体五斗斛”的基本标准：“每方一尺，深二尺七寸，受粟一石。”(32)此类官斛的容积为2700立方寸，若仍按上述宋代厘米尺计算，则1石斛容量分别为：55541毫升、61196毫升和80436毫升，是前述官升容积的100倍。 于是，如何简化不同斛石之间的计量与折算，就成为杨辉《乘除通变算宝》卷中的主要内容之一。下面是杨辉给出的一道例题：“(米)足斛二百二十九石八升，问为八斗三升法斛几何?答曰：二百七十六石。”(33)又《法算取用本末》卷下载：“米八百九十石，每石省斛八斗三升，问为足斛几何?答曰：七百三十八石七斗。”(34)题中出现了足斛与省斛之间的换算。据郭正忠研究，宋代仅斛型至少有13种以上，其量制有135升之石，110升之石，83升之石，65升之石等多种，此处“省斛(83升)之一石，即为省斛(83升)之一斛，仅为足斛容积的0.83石”。(35) 此外，还有足秤与省秤之间的折算，如题云：“足秤一百二十六斤，问为省秤多少?答曰：一百五十七斤半。”(36)“足秤二百三十二斤，问展省秤多少?答曰：二百九十斤。”(37)在这里，“足秤”是指200钱或20两为1斤的秤，而“省秤”则是指16两为1斤之“官司省秤”，两者的比例为20∶16，或10∶8，或5∶4。(38)故方回在《续古今考》中述及：“有定秤二百文铜钱重，有二百二十钱秤。民间买卖行用，鱼肉二百钱秤，薪炭粗物二百二十钱秤。官司省秤十六两，计一百六十钱重。民间金、银、珠宝、香药细色，并用省秤。”(39) 可见，200铜钱重即20两，此为“足秤”或云“足斤”，行用于“民间买卖”及“鱼肉”买卖。220铜钱重即22两，此为“加秤”或云“加斤”，行用于民间“薪炭粗物”买卖。160铜钱重即16两，此为“省秤”或云“省斤”，行用于官府及“民间金、银、珠宝、香药细色”等买卖。当然，南宋官民因不同地区和不同专业部门，所行用的秤衡及斤两制度亦各不相同，实际情形比较复杂。仅江浙地区就有4种秤，“收谷一秤，十六斤，二百足铜钱为一斤。或十五斤，十四斤。糯谷，十三斤。所至江浙不同”。(40)所以在这里，杨辉固然旨在普及算法知识，但从客观上看，其却积极推动了政府统一秤衡与斤两制度。《日用算法》有题云：“今有物一百一十二斤，足秤，问为省秤几何?答曰：一百四十斤。”(41) 根据题中术文“以斤数为实，身外加二五”(42)知，杨辉在题中所用是标准的“足秤”与“省秤”，则依题意，有112斤×20/16=112斤×1.25=140斤。 又题云：“今有物三百九十一斤四两，省秤。问足秤几何?答曰：三百一十三斤。”(43) 由上题算法知，(391+4/16斤)×16/20=391.25斤×0.8=313斤。 在宋代，度量衡制改为十进位后，斤两仍为十六进位制，计算时比较繁复和麻烦。因此，杨辉在《日用算法》中编制了“斤价化两价”歌诀，以简化计算。其诀云：“一求，隔位六二五；二求，退位一二五；三求，一八七五记；四求，改曰二十五；五求，三一二五是；六求，两价三三七五；七求，四三七五置；八求，转身变作五。”(44) 用现代语言解释就是，1两=1/16斤=0.0625斤，2两=2/16斤=0.125斤， 3两=3/16斤=0.1875斤，4两=4/16斤=0.25斤，5两=5/16斤=0.3125斤， 6两=6/16斤=0.375斤，7两=7/16斤=0.4375斤，8两=8/16斤=0.5斤。 所以在具体的筹算实践中，杨辉总结了民间速算的方法和经验，并加以歌诀化，因而使算术捷法得到广泛传播。例如，乘数“二百一至三百”用杂法： 二百一，加三四加五；二百二，隔位加一倍之；二百三，七因两折加一六；二百四，加二加七；二百五，折半身前四因；二百六，倍之隔位加三；二百七，加三八加五；二百八，加三加六；二百九，加一加九；二一一，连身加一一；二一二，倍之隔位加六；二一三，加四二加五；二一四，倍之隔位加七；二一五，加七二三折半；二一六，加二加八；二一七，七因两折加二四；二一八，倍之隔位加九……二九八，二因加四九；二九九，加三退七七；三百，二因加五。(45) 所谓“二百一，加三四加五”是指当201作乘数时，先对被乘数作加34运算，接着再对所得结果作加5运算。当用202作乘数时，需先对被乘数作“隔位加一”(即被乘数进两位，另加上原被乘数与1的乘积)的运算，然后，再对所得结果加倍。其余类推，不作赘述。上述引文为杨辉“加因代乘三百题”中的后半部分，其算法多用“定身乘法”“一位乘法”“补数乘法”以及“折半”和兼用加、因、损、折几种算法，独不见“飞归法”。因此，清人李锐说：“《通变》卷内有代乘代除各三百题，今市井俗人所谓飞归法，正复相似。”(46)实际上，这是对杨辉算法的误解。对此，华印椿已有拨正。(47)当然，用现代珠算的观点看，杨辉上述方法未必简捷，但是在当时的历史条件下，《法算取用本末》所介绍的“代乘代除”法，对于筹算工具的改革和民间算法之捷化，起到了重要的推动作用，甚至有些算法，经过后人的进一步补充和完善，直到今天都有一定的应用价值。例如，中国台湾的王文佩通过长期的数学教学实践，发现对于中等程度的学生而言，“在学习过程中，对于基本观念的再次提醒、足够的示范及演练，确实有其存在的必要性。杨辉在乘除法的各‘三百题’，也为初学者和中等程度学习者，提供了更多的范例及学习机会。”(48) (责任编辑：admin) |