三
    推演理论与现代逻辑的蕴涵理论具有极为密切的关系，搞清这种关系无论对于推演还是蕴涵本质的理解都是大有裨益的。
    得出一真的命题要有两个因素：一是真的前提，一是有效的推理。真的前提内容各异，它的真假需由具体科学或实践进行检验；而推理的有效规则是逻辑研究的主要对象。逻辑主要研究有效推理尤其是演绎推理的规律、规则。演绎推理的有效性即指如果它的前提是真的，则其结论也必然是真的，而有效推理如其结论是假的，则其前提也必然有假。
    “蕴涵”多指任何两命题之间存在的一者对另一者的包罗、继随、推导等逻辑关系。如“如果一个人是孤儿，那么他没有父母”是一个分析命题，其中后一命题可以说包含在第一命题中，这就是一种包罗关系；“如果有闪电则有雷声”中，前后二支命题则有一种时间的继随关系，而“如果气温降至零度以下，则水会结冰”，则是一种因果继随关系；在“如果天下雨，则天下雨或不下雨”中，二者则具有一种推导关系，即据形式而进行的推导。根据蕴涵的不同性质，可把它分成实质蕴涵、形式蕴涵、严格蕴涵等。“蕴涵”这个词虽体现着不同的逻辑联系和性质，但不论哪种蕴涵都具有一种共同的性质，即如果前件真则后件也为真，而如果后件假则其前件也一定为假。
    可见，蕴涵所体现的关系与演绎推理所具有的关系是一致的。说某个推理的前提蕴涵结论就是指此推理是一个有效的推理，具体地说就是由真的前提可推出真的结论。因此，现代逻辑可用蕴涵概指推理的有效性。也正是在蕴涵的基础上，弗雷格、罗素等人建立起了逻辑演算乃至整个现代逻辑体系的大厦。因此，蕴涵既是现代逻辑的最高概念又是现代逻辑体系的基础。
    中世纪的推演理论中，“推演”是个多义词。从狭义的方面来讲，它主要指一种条件句，其中探讨了各种蕴涵关系如形式蕴涵、实质蕴涵等。在狭义理解的基础上，中世纪逻辑学家又对各种逻辑关系，如各种有效推理形式中命题之间的蕴涵关系进行了总结，这是对推演的广义理解。布洛蒂把中世纪的推演分为“作为命题的推演”和“作为推理的推演”。作为命题的推演就是条件句，而作为推理的推演就是各种推理形式，这就相当于推演理论狭义和广义的理解（11）。我们这里所说的推演主要指狭义的推演。
    作为狭义的推演其意义也不是单一的，因为多数中世纪逻辑学家都把推演定义为“不可能前件真而后件假”，但由于他们对“不可能”作了不同的理解，因而就有不同的推演。
    如前所述，形式推演中的“不可能”是形式的不可能，即从逻辑形式上看是不可能的。这种推演相当于现代逻辑中的永真式或重言式，即逻辑演算中的定律，它反映的是有效演绎推理中前提与结论之间的逻辑关系。中世纪逻辑学家就用形式推演这种条件句表示有效演绎推理，其前件相当于演绎推理的前提而后件则相当于其结论。但要注意的是，其一，这种条件句是永真式；其二，这种永真式仅仅根据命题之间的形式。如三段论的形式“M是P，S是M，所以S是P”和析取引入“p，所以，p或q”可用条件句分别表示为“如果M是P并且S是M，则S是P”和“如果p，则p或q”。这两个推理形式都是有效的，而相应的条件句则是永真式。但这种永真或有效仅仅根据命题的形式，而与其中的具体概念或命题无关，就是说，不论S、M、 P、p、q等代入什么样的具体概念或命题，只从形式上就知道前提可推出结论，或者说相应的条件句是真的。现代逻辑引入一个新的概念--形式蕴涵对此关系进行概括。此概念由罗素和怀特海在《数学原理》中首先提出。罗素在其《数学原理》中列出专门的一章进行阐述，并在以后的《数理哲学导论》一书中加以简要的总结。他认为，形式蕴涵是一种命题函项之间的关系，而“一个命题函项’其实就是一个表达式，这表达式包含了一个或多个未定的成分，当我们将值赋于这些成分时，这个表达式就变成了一个命题。换句话说，一个命题函项即是其值为命题的函项”（12）。也就是说，命题函项是一个模式、一个空架子，它本身并不具有意义，但它可以容纳意义。如“ψx”就是命题函项，其中包含了一个变项x，所以，它并没有具体的含义，也就是说，没有作任何的断定，因此，“x是人”并不是命题。当我们给x以具体的赋值以后，它就变成一个命题，如把“苏格拉底”赋值于x，则得到一个真的命题“苏格拉底是人”。命题之间的函项关系是命题函项的一种特殊情况。如“p→q”，其中由于P、q没有具体的含义，因而，“p→q”的意义是不定的。只有给p、q具体的赋值以后，“p→q”才成为具体的命题（18）。罗素认为，所谓形式蕴涵就是这样的命题，如“x是一个人蕴涵着x是有死的对于x的所有值成立”， 这种命题的一般形式可表示为“φx蕴涵着ψx对于x的所有值成立”。“为简单起见，当我们的意思是‘φx蕴涵ψx’恒真时，我们说‘φx恒蕴涵ψx’。‘φx恒蕴涵ψx’这种形式的命题称为形式蕴涵。”（14）他认为这个名称也可用于变元不止一个的命题（15）。形式蕴涵是恒蕴涵，即对变项的所有值成立，否则就不是形式蕴涵（16）。形式蕴涵可用来表示全称命题，如传统逻辑的“所有S是P”可表示为（x）（Sx→Px），意思是“Sx→Px对于x的所有值成立”，相当于（Sx[,1]→Px[,1] ）∧（Sx[,2]→Px[,2]）∧……另外，形式蕴涵还可以用来表示演绎推理中的永真式或重言式，在逻辑演算中叫做“断定命题”。罗素认为，“‘p或q’蕴涵‘q或p’就是关于命题函项在所有情况下都真的断定。我们不是断定上述原则只对某个特殊的p或q为真，而是对于此原则对之有意义的任何p和q都真，实际上它相当于（p）（q）（p∨q→q∨p）。虽然在一个系统中定律、规则等一般都没有全称量词，但这只不过是省略而已。在我们的心目中是给它们加上的，也就是说，上面的原则也相当于（p[,1]∨q[,1]→q[,1]∨p[,1]）∧（p[,2]∨q[,2]→q[,2]∨p[,2]）∧……（17）。总之，“我们的形式蕴涵断定的是一个蕴涵的类，而不仅仅是一个蕴涵。……我们得到一个蕴涵的类，其中的每一分子都不包含变项，而且我们断定每一分子都是真的。”（18）中世纪的形式推演就是对推理规则、定律的总结和断定，它相当于现代逻辑的形式蕴涵，即特定的实质蕴涵的类，用符号表示就是（p）（q）（p→q（“→”表示实质蕴涵）。