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裴秀的“制图六体”与“计里画方”(3)

http://www.newdu.com 2017-08-28 《文史》 武家璧 参加讨论

裴秀把“失准望之正”归咎於“与远近之实相违”是有深刻道理的。已有学者指出裴秀的“道里”是确定“准望”的技术途径(15)。今本《晋书·裴秀传》漏掉“失准望之正”一语(16),今据《九家旧晋书辑本》臧荣绪《晋书》卷五《裴秀传》及《艺文类聚》、《初学记》中的有关记载补正。在把地面物体准确定位的过程中,“准望”(方向)和“远近”(距离)两者是必须的,并且一般来説沿着同一直綫方向延伸或缩短距离,不会改变方位角。但如果以“画方”爲框架来限制方位,情况就会大不一样:例如以画方的左下角爲基点,该点位置爲已知,直綫连接画方中的某一端点,那麽端点与基点的距离就是“远近之实”;假设端点位置固定,“远近之实”有改变必定引起基点位置移动,也就是整个画方的位置错动,此即所谓“失准望之正”。裴秀所説“远近”失实会导致“准望”失正的情况,只有放到“画方”这个座标框架中来理解,才会一目了然。
    由於地图绘制在平面上,而地球表面(球面)是不可展开图形,所以完全要做到角度和距离都不变形是不可能的。然而裴秀他们的绘图作业是分割在“方百里”的小块范围内进行的,可以想见在如此小的范围内,在没有“地球”概念的头脑中凭藉肉眼观察,无论是角度变形、还是距离变形都是很难发现的。而且,裴秀的“准望”并不能完全等同於现代的方向或方位概念,它是和“计里画方”紧密联系的;“画方”的位置、方向正确就等於“准望”正确;在我们今天看来仅有距离延伸而方向并未改变的情况,裴秀他们却认爲已经“失准望之正”了。因此,真正的方位只有在“准望”的框架--“画方”内才是有效的。在画方内联系方位和距离以确定位置的方法,十分类似於现代的极坐标法。它与现代极坐标不同的是,即使在同一画方内,所有诸点都可能不共同使用同一个极,而是逐点定位的,前者是後者的极,後者以前者爲基点,在已知点沿某方向延伸相应距离到新的图点。这样误差容易累积起来,积累到一定程度就会出现因距离失真而导致画方错动--“失准望之正”的情形。因此需要用“画方”来总体控制,使新增图点尽量校正到同一基点及其对於画方边綫的方向上来。
    上述解释还可从北宋沈括及清初胡渭两位着名地图学家对“准望”(方隅)与“远近”的重视中得到印证。沈括使用“鸟飞之数”表示水平直綫距离,他説:“地理之书,古人有《飞鸟图》,不知何人所爲。所谓‘飞鸟’者……按图别量径直四至,如空中鸟飞直达,更无山川回屈之差。余尝爲《守令图》,虽以二寸折百里爲分率,又立准望、牙融、傍验、高下、方斜、迂直七法,以取鸟飞之数。图成,得方隅、远近之实,始可施此法。”(17)沈括所説的“方隅”就是画方,得“方隅之实”就是得“准望之正”。沈括强调必须同时“得方隅、远近之实”始可施法,实即今极坐标定位法。胡渭则强调“准望,远近之实,必测虚空乌道以定数,然後可以登诸图,而八方彼此之体皆正。否则,得之於一隅,必失之於他方,而不可以爲图矣”(18)。可见“准望、远近之实”是图上定位(“登诸图”)的两个基本要件,这种类似极坐标定位的方法就是从裴秀“制图六体”的传统理论继承而来的。
    如果由实测数据绘制地图,那麽准望之术意味着必须实地进行方位角的测量,并在图上进行角值度量。角度测量在技术上并无困难,如《周髀算经》记载盖天家使用测地平经差的方法测量二十八宿距度(19)。裴秀“制图六体”中称“度数之实,定於高下”,即高度就是用角度来度量的。传统文献中方位是由“二十四山”及其分值刻度来表示的。然而裴秀他们在原有古地图的基础上进行缩样制作,理论上完全没有必要去测量角度,只需仿效木工缩放样的作法,先作画方,用一个活动角尺量取古地图上某点在画方中相对於基点的斜径及其张角,斜径长度就是所绘图点相对於画方基点的“远近之实”;斜径相对於画方临边的张角就是图点的“准望之实”。然後固定角尺的张角,平行移至新地图的相应画方中,再按比例缩小斜径的数值得到一端点,就完成了一个图点的缩样作业。或者裴秀他们已发明平行四边形缩放尺,可以手工操作机械制图。无论怎样做,前提是底图的分率、准望必须正确。很遗憾裴秀所见“舆地及诸杂图”的分率、准望都有问题,他必须对原图数据作一番校正工作。
    裴秀不必进行实地测量,仅凭古地图上记载的“道里”、“高下”数据就可判断其分率、准望是否正确。例如取两段路程的“道里”数,分别对其进行迂取直、方取斜、高取下三种校正,得到两者的“径路之数”相等;而在图上直接量取的两段“乌道”数却不相等,这説明两段路程的水平直綫距离不符合“远近之实”,这是由分率不正引起的。另如取单段路程的“道里”数,对其进行迂直、方斜、高下校正後得到“径路”数,与图上量得该段路程的“鸟道”数却不相等,此即所谓“径路之数与远近之实相违”,这是由画方位置错动引起的,故曰“失准望之正”。裴秀只有对古图的“分率”、“准望”进行校正後,才可能以此爲基础缩制新地图。
    三、“度数之实,定於高下”
    裴秀爲求得径路之数而进行的三种校正,一般解释爲“逢高取下,逢方取斜(邪),逢迂取直”(20),可分爲高差校正及裁弯取直校正两种。“方取斜”实爲“折取斜”,因爲两地路程绝少曲折正好如勾矩者,如磬折状者居多。例如,路程中有一曲折点与两端点构成斜三角形,“方取斜”即由两折边求斜边,其法过曲折点作斜边的垂綫,将斜三角形分解爲两直角三角形,然後通过勾股定理求解。“方取斜”实际上是“迂取直”的特殊情况。首先进行的是“迂取直”作业,使路程由曲綫变成折綫;其次进行“方取斜”,使折綫变成直綫;最後进行“高取下”,使倾斜直綫变成水平直綫。由於裴秀他们进行缩图制作,前两者裁弯取直可能以大图爲基础直接在图纸上进行作业。
    值得重视的是,裴秀论述“高下”之术时説“度数之实,定於高下”。大概有道路经过的山顶,古地图上会记下其高度,即山顶与平地的高差是已知的。三国曹魏刘徽着《海岛算经》载有“重差术”以测山高远近,因此古地图上记山高数并无技术困难。山高既已知,那麽定於高下的“度数”指什麽呢?应指站在山脚平地仰望山顶的高度角。东汉张衡《浑天仪注》载北极“出地上三十六度”,《晋书·天文志》亦载“北极出地三十六度”,可见魏晋时代的人们对高度角的测量并不陌生。然而裴秀的“度数”可能并非实测,而是由古地图上记载的“道里”和山高数据推导出来的。将山坡上的“道里”数经过“迂取直”、“方取斜”等处理便得到山坡的斜径,山高与斜径之比就是正弦函数,对应唯一“度数”;再将斜径与山高数据一并代入勾股定理公式,立刻可以求出山脚至山顶的水平直綫距离,即所谓“径路”数。
    实际上取“径路之数”只需“道里”、山高数即可,并不需要“度数”,那麽“度数”有什麽意义?裴秀爲什麽特别强调“度数之实”呢?取山高之数必用“重差术”,此术从前後两个已知点分别对准同一被测点,可同时测得三个数值:(1)山的“高下”(垂直距离);(2)山的“度数”(高度角);(3)山的“远近”,即“鸟道”数(水平距离)。对於某一水平距离而言,山顶的高度角取决於它的垂直高度,这就是裴秀所説的“度数之实,定於高下”。“度数”并非地图上的要素,只是绘图过程中的参考数据,裴秀的目的是要取得“乌道”数。显然通过“度数”与山高、斜径的对应关系,在仅知“高下”与“度数”的情况下可以反求山坡斜径,再通过勾股关系得到“鸟道”数。而仅测望山高的“度数”并不需要“重差术”,只需要简单的量角器就可以了。因此“度数”是在实测绘图中最容易测得的量,同时也是验证“径路”与“高下”数是否准确的客观标准。
    裴秀最关心的问题是,由“道里”而求得的“径路”数,与由“度数”而求得的“鸟道”数是否相符。然而裴秀在理论上虽然认识到“度数”的重要性,但他们并不一定去实地测望“度数”,真正能够做到的可能就是取旧图上的“径路”数,作爲新图上的“鸟道”数,使新图的“径路之数”与“远近之实”相符,从而避免分率、准望不正的问题。
    虽然裴秀的“高下”之术,在实际操作中可能就是取旧图的“径路”数爲新图的“鸟道”数的问题,但他在理论上提出了“度数之实,定於高下”的命题,很可能是一个三角函数问题,这意味着当时有可能编制了粗略的三角函数表。编制这样的函数表并不困难,只要掌握了勾股数或连续勾股数的规律,再找出勾股数与高度角的对应关系,就可以编制出一份近地面高度的三角函数表。以往人们认爲中国最早的三角函数表,是唐代印度裔天文学家瞿昙悉达编译《九执暦》时,从古代印度天文学中介绍过来的(21)。现在看来,裴秀的“高下”之术可能与三角函数有关,否则很难理解“度数之实”的问题。

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