四、“计里画方”与等积等距投影
    中国古代早期宇宙论中并没有地球是球体的观念，大约汉以後盖天説提出“地法覆盆”、浑天説提出“浑天如鸡子、地如鸡中黄”的模型，然而在实际的大地测量及地图绘制工作中，似乎仍然把大地当作平正的来看待，如《周髀算经》中的术数和算法就是如此。裴秀显然知道大地如“覆盆”、如“鸡黄”的説法，如果他认同这些説法，最终却要在地图上把大地展开爲平面图，那麽他的头脑中就应该有了投影的初步概念，只不过他没有用经纬网，而是使用了等面积等距离方格纲而已。他用“高下”之术取“鸟飞之数”，实际上就是水平投影；而整幅地图相当於等面积等距离投影。例如裴秀的《方丈图》采用“计里画方”的办法，把“天下”分割爲“万方”，利用木工“缩放样”的原理和方法，把每一“方”缩小到图纸上，实际上相当於在每一个画方内将“方百里”的地球表面投影到比例尺爲“方百里”的水平面上，类似於用“方百里”的平面去逼近“方百里”的球面；然後依次将“天下万方”紧密联接爲统一的大平面。这
    这样处理，相对於大地平正的观念而言，图上表示的面积与实际面积完全相等；相对於球面或者曲面而言，裴秀他们实际创造了一种有限元近似算法，以使图上面积逼近实际面积。因此，不管主观上是否有大地投影的观念，裴秀的地图作法，从实际效果来看，可以称得上是一种不用经纬网的、中国式的等面积等距离投影。即每一个画方由地球中心发射綫至地表，正投影到平面上，然後将这些小平面拼接成大平面地图，这样制作出来的地圆可称爲“等积等距”方格网地图。
    西周初在封国土、建诸侯的过程中，对封国面积作出过一般性规定。《左传·襄公二十五年》：“昔天子之地一圻（圻通畿，方千里），列国一同（方百里）。”《孟子·万章下》：“天子之制，地方千里，公侯皆方百里，伯七十里，子男五十里，凡四等。不能五十里，不达於天子，附於诸侯，曰附庸。”《礼记·王制》、《春秋繁露·爵国》、《汉书·地理志》等所载与此略同，《周礼·大司徒》所载与此稍有不同。由此可见，分封面积的大小是封建等级的重要标志。当然并不是説封国疆域恰好是正方形的，只要面积符合相应的数量级就可以了。以周朝“王畿千里”爲例，《汉书·地理志》载：“初雒邑与宗周通封畿，东西长而南北短，短长相覆爲千里。”颜师古注：“宗周，镐京也，方八百里，八八六十四，爲方百里者六十四也；雒邑，成周也，方六百里，六六三十六，方百里者三十六。二都得方百里者百，方千里也。故《诗》云‘邦畿千里’。”可见“王畿”爲不规则长方形，总面积约合一千平方里。西周封建，授民授疆土，封国的面积和疆界是不能含糊的。这在政治上要求“天下”地图准确地反映封建方国的面积范围与边界距离，对地图制作提出了等面积等距离的客观要求。可以想见，先秦时代已经有了这样的“天下万方”图，只不过裴秀在秘书省没有见到先秦时代的“古之地图”，甚至连萧何收集的“秦图”也没有见到，於是出於职责的考虑，他才开始制作新地图。他的“制图六体”实际上是对先秦以来地图绘制理论和技术的一次全面总结。
    裴秀地图制法的最大优点是面积和距离基本无变化，地物整体变形较小。这主要归功於中国没有地球和经纬纲綫的概念。因爲只要按经纬綫来布置网格，就不可能同时兼顾面积和距离不变形。古希腊文明中很早就有了大地是球形的概念，这使他们很早就使用经纬纲及投影技术绘制地图。公元前3世纪的埃拉托色尼（Eratosthenes，前275-193）编制以地中骸中心的当时的“世界地图”(22)，应用了经纬綫互相垂直的等距离圆柱投影，又称“方块投影”、“方格投影”。其圆柱投影面与赤道相切，按经綫长度不变条件将经纬綫网投影到圆柱面上，再沿一母綫削开展平。经綫与纬綫爲两组平行綫，构成方形网格。这种投影图上，正南北与正东西方向与地面实际方向相符，但由於高纬度地区展开成与赤道地区相同的宽幅，经綫间隔除在赤道上按比例与实地相等外，离赤道越远越被放长，从而引起面积、角度变形以及除经綫方向以外的距离失真。
    18世纪德国数学家兰勃特(J.H.Lambert,1728-1777)拟定两类方格或矩形经纬网，分别叫做“正轴等距离切圆柱投影”、“正轴等面积切圆柱投影”(23)。前者又叫“方块投影”，即埃拉托色尼投影法的严格数学化。後者又称“兰勃特等积圆柱投影”，按等面积条件用数学方法将经纬綫纲投影到圆柱面上再展开爲平面，经綫爲等距平行直綫，纬綫爲垂直经綫的平行直綫，经纬綫构成矩形网。兰勃特等积投影虽然保证了面积与实际相等，但纬綫间隔随纬度增加而缩小，从而引起角度与长度变形，在高纬度地带变形尤其显着。兰勃特的数学方法证明采用方格或矩形经纬网，不可能实现距离和面积同时保真，虽然名曰“等距离”投影，也只能保证经綫方向的距离不变，纬綫方向的距离则随纬度增加而愈加拉长。
    古希腊地图的杰出成就是托勒密（Ptolemaeus Claudius，约90-168）的投影地图。埃拉托色尼的方格经纬网带来的变形是明显的，因此托勒密致力於寻找“把地球面上的点移到平面上而免去误差的方法”(24)--地图投影法。托勒密发明了两种投影法，一种是圆锥投影，又叫“托勒密投影”，这种地图上的经綫从一个顶点辐射出来，纬綫爲同心圆弧。另一种类似於现在的“僞圆锥投影”，以修正圆锥投影图，这种图上的中央经綫爲直綫，其余经綫爲对称於中央经綫的曲綫，纬綫爲同心圆弧。托勒密的“两种投影系统是古代人最卓越的创造，能将一个球面物体很好地展绘到一个平面上去”(25)。值得注意的是，这两种构图法则使人们很容易在地图上找到正确方向：对於圆锥投影，其任一经綫与中央经綫的夹角是一个常数，等於两綫的经度差乘以一个小於1的常数因子；对於“僞圆锥投影”，由於经綫和纬綫不正交，故没有等角投影，任一点到圆心的连綫与中央经綫的夹角是其经纬度的函数(26)。方向的保真，对於航海来説非常重要，经纬网地图很好地满足了这一要求。
    托勒密的投影地图在其锥面与球面相切的纬向狭长延伸地带精度较高，向两侧越远则距离与面积变形越大，但方向按规律展开。与此相比，裴秀的方格网地图，在距离与面积方面保持不变，但方向与角度有不同程度失真而不爲古人所知。裴秀地图的角度变形是以画方爲单位的，画方的边綫是根据等距离原则划定的，但却被认定爲正南北向与正东西向的标准綫，从而引起方向失真，且距离中央基綫越远，方向失真越大。唯一不会失真的是基准綫--过洛阳的中心綫，例如南北基綫爲“洛阳-江陵”綫。《周礼·职方氏》、《汉书·地理志》载“正南曰荆州”。《通典·州郡》：“今之荆州理於江陵县……其地居洛阳正南，章帝徙钜鹿王恭爲江陵王，三公上言‘江陵在京师正南，不可以封’，乃徙爲六安王。”(27)“京师正南”暗含“南面称孤”、与朝廷分庭抗礼之意。因地理位置位於“京师正南”而不得不改封的事例十分罕见，此事语出後魏阚駰《十三州志》，见《太平御览·州郡部》所引(28)。今查地理位置，洛阳东经112.27度、北纬34.4l度，荆州（江陵）束经112.16度、北纬30.18度，两地基本上在同一条经綫上，符合“京师正南”之説。而在“洛阳-荆州”一綫以东的画方，南北綫实际指向北偏东，越往东北偏离越大；“洛阳-荆州”一綫以西的画方，南北綫实际指向北偏西，越往西北偏离越大。由於当时中国人头脑中的“天下”主要集中在中低纬度地区和“四海”之内，基本不涉及高纬度及中亚以西地区，方向失真还没有到非常严重的地步。且方向失真只有在大范围内才看得比较清楚，而裴秀他们的方向是以画方爲界限的，画方正等於准望正，因此在单个“画方”这样小的范围内，是不大可能发现方向失真的问题并引起重视的。
    地图的主要用途是用於交通，中国虽然面朝大海，但在古代，太平洋及其边缘海并不适合发展海上交通和贸易，因而陆地交通十分发达，在地图上注记交通綫路的“道里”数显得十分重要。同时陆上地图要求山脉、河流、道路、城邑、国家等要素的形状及相对位置尽量保持原貌不变，裴秀的地图很好地满足了这些要求。陆上交通对於方向的准确性似乎无迫切需要，只需知道大致方向即可，因爲陆上交通有固定的道路（车路或人行道），几乎不会沿着某个直綫方向到达目的地，也不可以朝任意方向行走。并且陆上地物标志十分显着，人们可以根据这些标志及时调整方向，选择正确道路，不至於因方向错误而去目的地渐行渐远。
    古代西方则不然，地中海沿岸分布着文明古国，海上交通和贸易十分发达，地图编制者首先要考虑航海需要。海上航行可以朝任意方向进发，在一望无际的海面上很难找到标志物，一般情况下人们只能靠白天观日影、夜间看星象来辨别方向，例如对准北极星或者正午日影最短的方向可以确定正南北向。只有保证正确的航向，才能到达目的地；否则最终会离目的地渐行渐远。海图的第一大作用就是提供正确的航向，至於到目的地的距离，相比之下不很重要，大致正确就可以了。因此，西方主要用於航海的地图首先要保证方向的准确性，通过地图可以获得正确的导航，这与中国古地图首先要保证距离及面积的准确性有着根本区别。